Достаточное условие дифференцируемости

Если у функции $f(x)$ существуют частные производные по всем переменным в точке $x^0$, и $(m-1)$ из них непрерывны в этой точке, то $f$ дифференцируема в точке $x^0$.

Пусть непрерывны $f'_{x_k}(x), k \in \overline{1, m-1}$. Распишем приращение функции: $$\Delta f = f(x_1^0 + \Delta x_1, x_2^0 + \Delta x_2, \ldots, x_m^0 + \Delta x_m) - f(x_1^0, x_2^0, \ldots, x_m^0) =$$ Добавим и вычтем функции, "сдвигая" $\Delta x_{i}$: $$= f(x_1^0 + \Delta x_1, x_2^0 + \Delta x_2, \ldots, x_m^0 + \Delta x_m) - f(x_1^0, x_2^0 + \Delta x_2, \ldots, x_m^0 + \Delta x_m) +$$ $$+ f(x_1^0, x_2^0 + \Delta x_2, \ldots, x_m^0 + \Delta x_m) - f(x_1^0, x_2^0, \ldots, x_m^0 + \Delta x_m) +$$ $$+ \ldots + f(x_1^0, x_2^0, \ldots, x_{m-1}^0, x_m^0 + \Delta x_m) - f(x_1^0, x_2^0, \ldots, x_m^0).$$ По теореме Лагранжа $\exists{c_k \in [x_k^0, x_k^0 + \Delta x_k]}, k \in \overline{1, m-1}\mathpunct{:}$ $$\Delta f = f'_{x_1}(c_1, x_2^0 + \Delta x_2, \ldots, x_m^0 + \Delta x_m)\Delta x_1 +$$ $$+ f'_{x_2}(x_1^0, c_2, \ldots, x_m^0 + \Delta x_m)\Delta x_2 + \ldots + f'_{x_m}(x_1^0, x_2^0, \ldots, x_m^0)\Delta x_m + o(|\Delta x_m|) =$$ (а для $f_{x_{m}}$ распишем приращение) Воспользуемся непрерывностью первых $m-1$ производных, получим: $$= \sum_{k=1}^m f'_{x_k} \Delta x_k + o(||\Delta x||)$$ $\square$